Querschnittskennwerte
Mit den Belastungskennwerten
(Schnittgrößen) und den Querschnittskennwerten werden in der
Festigkeitslehre Spannungen ermittelt. Die Grundformel der Festigkeit:
verdeutlicht dies sehr einfach.
Da es verschiedene Spannungen gibt, muß es demnach auch verschiedene
Querschnittskennwerte geben. So wird zum Beispiel der Querschnittskennwert
zur Berechnung der Biegenormalspannung ein anderer sein, als der zur Berechnung
der Schubspannung infolge Querkraft. Bei der Ermittlung der Querschnittskennwerte
ist somit differenziert nach der gesuchten Beanspruchung vorzugehen. Im
Folgenden sind die wesentlichen Querschnittskennwerte aufgeführt.
Schwerpunkt:
Der Schwerpunkt einer Fläche
ist dadurch definiert, daß das statische Moment dieser Fläche
mit Bezugsachsen durch den Schwerpunkt den Betrag Null hat. Ein kleines
praktisches Beispiel: Nagelt man ein Blatt Papier durch seinen Schwerpunkt
frei drehbar an eine Wand und verdreht es willkürlich, so würde
es sich anschließend nicht von alleine in eine andere Position drehen
(zurückdrehen).
Der Schwerpunkt dient als
Koordinatenursprung einer Fläche und wird zur Querschnittskennwerteermittlung
benötigt.
Schubmittelpunkt:
Der Schubmittelpunkt einer
Fläche ist dadurch definiert, daß das Schubflußmoment
dieser Fläche mit den Bezugsachsen durch den Schubmittelpunkt den
Betrag Null hat. Oder: Berechnet man das Moment aus allen Schubflußkräften
der einzelnen Teilflächen bezogen auf den Schubmittelpunkt, so wird
dieses Null.
In der Praxis bedeutet dies
Torsionsfreiheit des Querschnittes, wenn die Querkraftkomponente bzw. die
Resultierende der Querkraft durch diesen Punkt verläuft. Bei doppeltsymmetrischen
Querschnitten kann man davon ausgehen, daß der Schubmittelpunkt gleich
mit dem Schwerpunkt zusammenfällt. Bei einfachsymmetrischen bzw. unsymmetrischen
Querschnitten ist eine Untersuchung nötig.
Fläche:
Die Fläche ist die absolute
Summe aller differentiell kleinen Querschnittsteilflächen. Hierbei
ist die Lage eines möglichen Koordinatenursprungs unwichtig. Die Fläche,
oder auch ein Teil dieser, wird zur Ermittlung von Querschnittskennwerten
benutzt, oder direkt zur Berechnung von Beanspruchungen.
Statisches Moment
Das Statische Moment, oder
auch Flächenmoment 1. Grades, wird immer auf den Schwerpunkt bezogen
berechnet. Es ist im Schwerpunkt am größten und in den am weitesten
vom Schwerpunkt entferntesten differentiell kleinen Teilflächen am
Kleinsten bzw. Null. Die Berechnung erfolgt analog der eines Momentes,
nämlich: Summe aus Teilflächen mal achsenbezogener Abstand aus
Teilflächenschwerpunkt zu Gesamtschwerpunkt (Summe aus Kraft mal Hebelarm).
Es sind immer mindestens zwei Statische Momente in einem Querschnitt vorhanden.
Das Statische Moment findet
zum Beispiel bei der Ermittlung der Schubspannungen Anwendung.
Flächenträgheitsmoment:
Das Flächenträgheitsmoment,
oder auch Flächenmoment 2. Grades, wird immer auf den Schwerpunkt
bezogen berechnet. Es ist für jeden spezifischen Querschnitt konstant.
Verallgemeinert kann man sagen, daß Querschnittsflächen mit
großen, vom Schwerpunkt weit entfernt liegenden, Teilflächen,
ein großes Flächenträgheitsmoment besitzen. Die Berechnung
erfolgt durch Bildung der Summe aller Produkte aus den differentiell kleinen
Teilflächen und ihren quadrierten achsenbezogenen Abständen zum
Schwerpunkt. Es sind immer zwei Flächenträgheitsmomente in einem
Querschnitt vorhanden.
Das Flächenträgheitsmoment
findet zum Beispiel bei der Ermittlung der Biegenormalspannungen Anwendung.
Flächenzentrifugalmoment:
Da bei der Berechnung der
Flächenträgheitsmomente 2. Grades nicht davon ausgegangen werden
kann, daß es sich um die Maximalen bzw. Minimalen handelt - in Abhängigkeit
einer Verdrehung des Koordinatensystems im Schwerpunkt können sich
die Beträge der Flächenträgheitsmomente ändern - ist
es wichtig das Abweichungsmoment (Verdrehungsabweichung von der optimalen
Koordinatenachsenverdrehung - Hauptachsen) zu berechnen. Mit Hilfe dieses
Zentrifugalmomentes kann dann der Abweichungswinkel der Basiskoordinatenachsen
zu den Hauptachsen berechnet werden und anschließend mittels einer
mathematischen Relation die maximalen und minimalen Flächenträgheitsmomente.
Diese werden die Hauptflächenträgheitsmomente genannt. Möchte
man eine Doppelbiegung an einem Bauteil infolge eines angreifenden Biegemomentes
vermeiden, so muß der Momentenvektor zu einer der beiden Hauptachsen
parallel eingeleitet werden bzw. mit ihm zusammen fallen. Die Berechnung
des Flächenzentrifugalmomentes erfolgt durch Bildung der Summe aller
Produkte aus den differentiell kleinen Teilflächen und ihren beiden
multiplizierten Abständen der beiden Koordinatenrichtungen zum Schwerpunkt.
Es gibt nur ein Zentrifugalmoment in einem Querschnitt.
Hauptflächenmomente:
Die Hauptflächenmomente
sind die maximalen bzw. minimalen Flächenträgheitsmomente einer
Querschnittsfläche. Sie werden mit Ih
und Iz bezeichnet.
Polares Flächenträgheitsmoment:
Beim polaren Flächenträgheitsmoment
gibt es nur eine Bezugsachse, Längsachse des Bauteils. Sie steht senkrecht
zur Querschnittsebene und bildet deshalb einen Pol im Schwerpunkt der Ebene
ab. In der Festigkeitslehre findet das polare Flächenträgheitsmoment
beispielsweise bei der Berechnung auf Torsion von Kreisförmigen Querschnitten
und der Berechnung von Abscherkräften an Schraubenfeldern Anwendung.
Das polare Flächenträgheitsmoment kann durch Addition der beiden
Flächenträgheitsmomente, oder durch die Summe aller Produkte
aus den differentiell kleinen Teilflächen und ihren quadrierten Radien
zum Schwerpunkt gebildet werden. Das polare Flächenträgheitsmoment
wird mit Ip bezeichnet.
Widerstandsmoment:
Das Widerstandsmoment wird
aus dem Flächenträgheitsmoment gebildet. Es findet zum Beispiel
bei der Ermittlung der maximalen Biegenormalspannungen Anwendung.
Torsionsflächenmoment:
Die Berechnung des Torsionsflächenmomentes
folgt keiner einheitlichen Lösung, sondern ist querschnittsspezifisch.
Man unterscheidet Kreisquerschnitte, offene dünnwandige und dickwandige
Querschnitte. Bei geschlossenen Hohlquerschnitten wird kein Torsionsflächenmoment
gebildet, sondern statt dessen die umrissene Fläche der Querschnittsmittellinie
benutzt. Das Torsionsflächenmoment findet bei der Ermittlung
der St. Venantschen - Torsionsspannung (primäre Torsionsspannung)
Anwendung.
Torsionswiderstandsmoment:
Das Torsionswiderstandsmoment
wird aus dem Torsionsflächenmoment gebildet. Es findet zum Beispiel
bei der Berechnung der St.V. - Torsionsspannungen dickwandiger Querschnitte
Anwendung.
Trägheitsradius:
Mit dem Trägheitsradius
können alle vorkommenden Flächen, mögen sie noch so unterschiedliches
Aussehen haben, in eine einheitliche Vergleichsfläche gebracht werden.
Man versteht unter dem Trägheitsradius den Abstand eines Flächenstreifens
von einer Bezugsachse, der für den Flächenstreifen das gleiche
Trägheitsmoment liefert wie die beliebig gestaltete Fläche mit
dem gleichen Flächeninhalt für die gleiche Bezugsachse. Der Trägheitsradius
findet zum Beispiel bei Stabilitätsuntersuchungen Anwendung.
Es sind immer zwei Trägheitsradien in einem Querschnitt vorhanden.
Wölbwiderstand:
Der Wölbwiderstand folgt
einer Relation aus dem Flächenträgheitsmoment einer Teilfläche
und ihrem orthogonalen Abstand zum Schubmittelpunkt. Er wird zur Berechnung
der sekundären Torsionsschubspannungen und der Wölbnormalspannungen
nicht wölbfreier Querschnitte herangezogen.
(Siehe [Applet
4 u. 5] Berechnung von Querschnittswerten)
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